É bem conhecida a história do último teorema de Fermat. O grande matemático deixou uma anotação em um canto de página de um exemplar da Aritmética, de Diofanto, que manuseou antes de morrer: "Demonstrei que a relação x^m + y^m = z^m é impossível para os números inteiros (x, y e z diferentes de zero; m superior a 2). Mas nesta margem não tenho espaço para escrever a demonstração."

Esse teorema, de aparência tão simples, levou mais de trezentos anos para ser demonstrado. Nunca saberemos como Fermat chegou a ele e como pretendia ter feito a demonstração, pois a prova, excepcionalmente longa e complexa, precisou usar ferramentas matemáticas muito recentes. O fato é que, de algum modo sintético, Fermat divisou de forma certeira uma ideia contra-intuitiva, nada trivial.

Não é um caso isolado. Inúmeros matemáticos encontraram subitamente soluções para problemas complicados, em momentos inusitados, sem que estivessem trabalhando neles. Gauss relata como demonstrou um teorema "num raio, graças a Deus". Poincaré conta que realizou uma de suas maiores descobertas ? sobre os chamados grupos fuchsianos ? quando colocou o pé no estribo de um trem, sem que estivesse pensando no assunto. Hadamard escreve: "Certa vez, acordado de repente por um ruído, encontrei uma solução que procurava havia muito tempo, numa direção totalmente diferente de tudo o que eu havia tentado até então."

Esses casos apresentam as mesmas características: são descobertas instantâneas, sintéticas e dotadas de certeza imediata. O matemático sente que "viu" a solução, mas desconhece os caminhos que o levaram a ela, que depois será verificada e acabada. Como intuição, acaso e lógica se combinam nesse trabalho?

O mistério intrigou durante muito tempo Jacques Hadamard (1865-1963), um dos maiores matemáticos do século XX. Desde cedo ele se debruçou sobre o problema da criatividade em matemática. Durante a Segunda Guerra Mundial, trabalhando em Princeton (EUA), deu um curso sobre o tema e depois organizou suas ideias neste livro.

Hadamard defende que o pensamento criativo em matemática se realiza, em larga medida, sem palavras, sendo frequentemente acompanhado por imagens mentais compactas, cuja forma varia de pessoa a pessoa. Enfatiza os processos inconscientes e subconscientes que produzem soluções súbitas de problemas não resolvidos nas fases de esforço consciente. Recupera textos em que Gauss, Riemann, Galois, Poincaré e Einstein ? além de Mozart, Rodin e Paul Valéry ? descrevem os seus próprios processos criativos. Mas o mistério permanece, pois, como diz Poincaré, "as regras que guiam a invenção são finas e delicadas; é quase impossível enunciá-las numa linguagem exata; elas são mais sentidas do que formuladas."